Question

（2010•菏澤）如圖，△OAB中，OA=OB，∠A=30°，⊙O經過AB的中點E分別交OA、OB于C、D兩點，連接CD．
（1）求證：AB是⊙O的切線．
（2）求證：CD∥AB．
（3）若CD=4，求扇形OCED的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE交CD于F，證OE⊥AB即可．根據等腰三角形性質易證；
（2）可求∠O=120°，∠OCD=30°=∠A，得證；
（3）關鍵在求半徑的長．證OE⊥CD，根據垂徑定理和三角函數可求半徑．根據扇形面積公式計算求解．
解答：（1）證明：連接OE交CD于F．
∵OA=OB，E是AB的中點，
∴OE⊥AB．
∴AB是⊙O的切線．

（2）證明：在△OAB，△OCD中，
∠COD=∠AOB，CO=OD，OA=OB，
∴∠OCD=，∠OAB=，
∴∠OCD=∠OAB，
∴CD∥AB；

（3）解：∵CD∥AB，∠A=30°，OE⊥AB，CD=4，
∴∠OCD=30°，OE⊥CD，CF=CD=2，∠COD=120°．
OC===4．
S_扇形OCED=．
點評：此題考查了切線的判定、扇形的面積計算等知識點，難度中等．