Question

（2010•菏澤）如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c經過原點O，與x軸交于另一點N，直線y=kx+4與兩坐標軸分別交于A、D兩點，與拋物線交于B（1，m）、C（2，2）兩點．
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）若拋物線在x軸上方的部分有一動點P（x，y），設∠PON=α，求當△PON的面積最大時tanα的值；
（3）若動點P保持（2）中的運動路線，問是否存在點P，使得△POA的面積等于△PON面積的？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據C點的坐標可確定直線AD的解析式，進而可求出B點坐標，將B、C、O三點坐標代入拋物線中，即可求得此二次函數的解析式；
（2）此題的關鍵是求出P點的坐標；△PON中，ON的長為定值，若△PON的面積最大，那么P點離ON的距離最遠，即P點為拋物線的頂點，根據（1）所得的拋物線解析式即可求得P點的坐標，進而可求出α的正切值；
（3）設出點P的橫坐標，根據拋物線的解析式可表示出P點的縱坐標；根據直線AD和拋物線的解析式可求出A、N的坐標；以ON為底，P點縱坐標為高可得到△OPN的面積，以OA為底，P點橫坐標為高可得到△OAP的面積，根據題目給出的△POA和△PON的面積關系即可求出P點的橫坐標，進而可求出P點的坐標．
解答：解：（1）將點C（2，2）代入直線y=kx+4，可得k=-1
所以直線的解析式為y=-x+4
當x=1時，y=3，
所以B點的坐標為（1，3）
將B、C、O三點的坐標分別代入拋物線y=ax²+bx+c，
可得
解得，
所以所求的拋物線為y=-2x²+5x．

（2）因為ON的長是一定值，
所以當點P為拋物線的頂點時，△PON的面積最大，
又該拋物線的頂點坐標為（），此時tan∠PON=．

（3）存在；
把x=0代入直線y=-x+4得y=4，所以點A（0，4）
把y=0代入拋物線y=-2x²+5x
得x=0或x=，所以點N（，0）
設動點P坐標為（x，y），
其中y=-2x²+5x （0＜x＜）
則得：S_△OAP=|OA|•x=2x
S_△ONP=|ON|•y=•（-2x²+5x）=（-2x²+5x）
由S_△OAP=S_△ONP，
即2x=•（-2x²+5x）
解得x=0或x=1，舍去x=0
得x=1，由此得y=3
所以得點P存在，其坐標為（1，3）．
點評：此題考查了一次函數與二次函數解析式的確定、函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、圖形面積的求法等知識，主要考查學生數形結合的數學思想方法．