Question

（2006•江西）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
（1）請寫出四個不同類型的正確結論；
（2）連接CD，設∠CDB=α，∠ABC=β，試找出α與β之間的一種關系式，并予以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，本題滿足垂徑定理．
（2）根據四邊形ACDB為圓內接四邊形，可以得到α-β=90°，再根據∠CDO=∠ODB=∠CDB得到α＞2β．
解答：解：（1）不同類型的正確結論有：
①BE=CE；
②BD=CD；
③∠BED=90°；
④∠BOD=∠A；
⑤AC∥OD；
⑥AC⊥BC；
⑦OE²+BE²=OB²；
⑧S_△ABC=BC•OE；
⑨△BOD是等腰三角形；
⑩△BOE∽△BAC；等等．
（說明：1．每寫對一條給（1分），但最多只給（4分）；
（結論與輔助線有關且正確的，也相應給分）．

（2）α與β的關系式主要有如下兩種形式，請參照評分：
①答：α與β之間的關系式為：α-β=90°（5分）
證明：∵AB為圓O的直徑
∴∠A+∠ABC=90°①（6分）
又∵四邊形ACDB為圓內接四邊形
∴∠A+∠CDB=180°②（7分）
∴②-①得：∠CDB-∠ABC=90°
即α-β=90°（8分）
（說明：關系式寫成α=90°+β或β=α-90°的均參照給分．）
②答：α與β之間的關系式為：α＞2β（5分）
證明：∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
又∵∠OBD=∠ABC+∠CBD
∴∠ODB＞∠ABC（6分）
∵OD⊥BC，
∴CD=BD
∴∠CDO=∠ODB=∠CDB（7分）
∴∠CDB＞∠ABC
即α＞2β．（8分）
（說明：若得出α與β的關系式為α＞β，且證明正確的也給滿分．）
點評：本題考查了圓的一些基本性質，且有一定的開放性，第（1）小題只需根據已知的結論進行簡單的推理即可得出不少不同類型的結論；第（2）題還考查了學生的方程思想，運用代數知識解幾何問題．