Question

如圖，△ABC是等邊三角形，D為AB邊上的一點，連接CD，以CD為一邊在點A的一側作等邊△CDE，連接AE，設DE與AC相交于點F
（1）寫出圖中所有的相似三角形；
（2）AE與BC的位置關系是什么，證明你的結論；
（3）若BC=6，CE=4，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）只要求寫出相似的三角形，不必寫出求證過程，根據相似三角形的判定定理，兩個等邊三角形的三個角分別相等，可推出△ABC∽△EDC，根據對應角相等推出△BDC∽△EFC∽△AFD，根據全等三角形的判定定理SAST推出△AEC≌△BDC，即可推出△BDC∽△AEC∽△EFC∽△AFD，還有一組是∠CAE=∠B=60°，再加上有一組對頂角，可以推出△AFE∽△DFC；（2）通過全等三角形的判定定理SAS得出△AEC≌△BDC，所以∠CAE=∠B=∠ACB=60°，根據內錯角相等，兩直線平行，判定AE∥BC；
（3）通過△ABC是等邊三角形可以推出其三邊相等，很很容易即可得出AC的長度．
解答：解：（1）△ABC∽△EDC，
△BDC∽△AEC∽△EFC∽△AFD，△AFE∽△DFC；

（2）AE∥BC，
證明：∵△ABC和△EDC都是等邊三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，
∴AE∥BC；

（3）∵△ABC是等邊三角形，BC=6，
∴AC=6．
點評：本題主要考查相似三角形的判定定理及有關性質的運用，關鍵在于根據圖中兩個等邊三角形，找出相關的相等關系，然后結合已知條件，證明結論．