Question

15．已知反比例函數的兩支圖象關于原點對稱，利用這一結論解集下列問題：如圖，在同一直角坐標系中，正比例函數y=kx的圖象與反比例函數y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象分別交于第一、三象限的點B、D，已知點A（-m，0）、C（m，0）．
（1）填空：無論k值取何值時，四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；
（2）①當m=2，點B坐標為（p，1）時，四邊形ABCD的形狀一定是矩形；
②填空：對①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點B共有2個；
（3）四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據對稱的性質可得四邊形ABCD的對角線互相平分，則一定是平行四邊形；
（2）①把B的坐標代入反比例函數的解析式即可求得p的值，利用待定系數法求得k的值，利用勾股定理求得OB的值，從而得出OA=OB=OC，得出∠ABC=90°；
②根據反比例函數圖象的對稱性，在反比例函數圖象上，連線經過O，且連線等于AC的一定有兩組，據此即可判斷；
（3）根據四邊形ABCD的對角線一定不能垂直即可判斷．

解答 解：（1）根據對稱性可得：OB=OD，
∵A（-m，0），C（m，0），
∴OA=OC
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
故答案是：平行四邊形；

（2）①∵點B（p，1）在y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$上，
∴1=$\frac{\sqrt{3}}{p}$，解得p=$\sqrt{3}$把B（$\sqrt{3}$，1）代入y=kx得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵OB²=（$\sqrt{3}$）²+1²=4，
∴OB=2．
∵m=2，
∴OA=OC=2，
∴OA=OB=OC=2，
∴∠ABC=90°，
由（1）有，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴平行四邊形ABCD是矩形；
故答案為矩形；

②由①得，m=2，
如圖，作出第一、三象限的角的平分線，交反比例函數圖象于點M、N．則MN的解析式是y=x．
當x=m=2時，反比例函數上對應的點是（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），直線y=x上對應的點是（2，2）．
∵2＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在OM的延長線上，即MN＜AC．
則能使四邊形ABCD是矩形的點B共有2個，
故答案是：2；
（3）四邊形ABCD不能是菱形．
理由是：∵A（-m，0）、C（m，0），
∴四邊形ABCD的對角線AC在x軸上，
又∵點B、D分別是正比例函數與反比例函數在第一、三象限的交點，
∴對角線BD和AC不可能垂直．
∴四邊形ABCD不可能是菱形．

點評 本題考查了反比例函數的圖象的對稱性以及菱形的判定，正確理解正比例函數與反比例函數關于原點對稱是關鍵．