Question

如圖，⊙O的半徑OA⊥弦BC，且∠AOB=60°，D是⊙O上另一點，AD與BC相交于點E，若DC=DE，則正確結論的序號是   
（多填或錯填得0分，少填酌情給分）．
①；    ②∠ACD=105°；    ③AB＜BE；    ④△AEC∽△ACD．

Answer 1

【答案】分析：根據垂徑定理、圓周角與圓心角的關系，判斷出相關角的關系及具體度數，即可解答．
解答：解：①半徑OA⊥弦BC，根據垂徑定理，=，故本選項正確；
②∵∠AOB=60°，=，∴∠ACB=∠CDA=30°，
又∵DC=DE，∴∠DCE==75°，
故∠ACD=30°+75°=105°，故本選項正確；
③∵∠BAD=∠DCB，∠DEB=∠BEA，
又∵∠BEA=∠CEB，
∴∠BAD=∠BEA，
∴AB=BE，故本選項錯誤；
④∵∠ACB=30°，∠ADC=30°，
∴∠CAE=∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，故本選項正確．
故答案為：①②④．
點評：本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應用能力，是一道綜合性題目，難度不大，得出∠AOB=∠AOC是解題的關鍵．