Question

探索三角形的內角與外角平分線：
（1）已知，如圖1，在△ABC中，兩內角平分線，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A=50°，則∠BOC=______；此時∠A與∠BOC有怎樣的關系，試說明理由．
（2）已知，如圖2，在△ABC中，一內角平分線BO平分∠ABC，一外角平分線CO平分∠ACE，若∠A=50°，則∠BOC=______；此時∠A與∠BOC有怎樣的關系，試說明理由．
（3）已知，如圖3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角平分線OB、OC相交于點O，若∠A=50°，則∠BOC=______；此時∠A與∠BOC有怎樣的關系（不需說明理由）

圖1中：關系式：______，理由：______；
圖2中：關系式：______，理由：______；
圖3中：關系式：______，理由：______．

Answer 1

解：（1）∠BOC=90°+∠A．理由如下：
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A．
當∠A=50°，∠BOC=115°；

（2）∠BOC=∠A．理由如下：
∵∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，
∴∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，
∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，
∴2∠BOC=∠A，
即∠BOC=∠A．
當∠A=50°，∠BOC=25°；

（3）∠BOC=90°-∠A．
當∠A=50°，∠BOC=65°．
分析：（1）根據三角形內角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，則2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根據角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A．
（2）根據角平分線的定義得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性質有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，則2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC=∠A；
（3）根據三角形內角和定理和外角性質可得到∠BOC=90°-∠A．
點評：本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和為180°．也考查了三角形外角的性質以及角平分線的定義．