Question

探索三角形的內角與外角平分線：
（1）已知，如圖1，在△ABC中，兩內角平分線，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A=50°，則∠BOC= _________ ；此時∠A與∠BOC有怎樣的關系，試說明理由．
（2）已知，如圖2，在△ABC中，一內角平分線BO平分∠ABC，一外角平分線CO平分∠ACE，若∠A=50°，則∠BOC= _________ ；此時∠A與∠BOC有怎樣的關系，試說明理由．
（3）已知，如圖3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角平分線OB、OC相交于點O，若∠A=50°，則∠BOC= _________ ；此時∠A與∠BOC有怎樣的關系（不需說明理由）

圖1中：關系式： _________ ，理由： _________ ；
圖2中：關系式： _________ ，理由： _________ ；
圖3中：關系式： _________ ，理由： _________ 。

Answer 1

解：（1）∠BOC=90°+∠A．理由如下：
∵∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴2∠BOC=360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A．
當∠A=50°，∠BOC=115°；
（2）∠BOC=∠A．理由如下：
∵∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，

∴∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，
∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，
∴2∠BOC=∠A，即∠BOC=∠A．
當∠A=50°，∠BOC=25°；
（3）∠BOC=90°﹣∠A．
當∠A=50°，∠BOC=65°．