Question

3．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=10，在線段BC上任取一點P，作PE⊥PD交AB于點E，與線段AB交于點E，則線段PC的范圍是（　　）

• A． PC＞0
• B． 0＜PC＜12
• C． 3≤PC≤12
• D． 3＜PC＜12

Answer 1

分析 過點D作DF⊥BC于F點，分P點在F右側和在線段BF上討論，并比較當BE最大時是否有BE≤AB，由此得出結論．

解答 解：過點D作DF⊥BC于F點，如圖，

①當P點在F點的右側時，顯然有∠DPB＜90°，E點在線段AB的延長線上，不符合題意，此時0≤PC＜3．
②當P點在線段BF中時，設BP=a，則PF=BF-BP=AD-BP=9-a，
∵∠BPE+∠EPD+∠DPF=180°，∠DPF+∠FDP=90°，
∴∠BPE=∠GDP，∠EBP=∠PFD=90°，
∴△BPE∽△FDP，
∴$\frac{BE}{BP}$=$\frac{PF}{FD}$，即BE=$\frac{9a-{a}^{2}}{10}$，
當a=$\frac{9}{2}$時，BE最大為$\frac{81}{40}$＜10=AB，
∵BE≥0，
∴0≤a≤9，PC=BC-a，
∴3≤PC≤12．
綜合①②得知3≤PC≤12．
故選C．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質定理，解題的關鍵是通過極值問題判定，當點P在線段BF上時，E點在線段AB上．