Question

7．如圖，已知正方形ABCD中，AB=12，點E在邊BC上，BE=EC，將△DCE沿DE對折至△DFE，延長EF交邊AB于點G，連接DG，BF．給出以下結論：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S_△BEF=$\frac{72}{5}$．
其中所有正確結論的個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據正方形的性質和折疊的性質可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根據“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE為直角三角形，可通過勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，進而求出△BEF的面積，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED顯然不是等腰三角形，判斷③是錯誤的，問題得解．

解答 解：由折疊可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DF}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，故①正確；
∵正方形邊長是12，
∴BE=EC=EF=6，
設AG=FG=x，則EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG²=BE²+BG²，
即：（x+6）²=6²+（12-x）²，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正確；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③錯誤；
S△GBE=$\frac{1}{2}$×6×8=24，S△BEF=$\frac{EF}{EG}$•S△GBE=$\frac{6}{10}×24$=$\frac{72}{5}$，故④正確．
綜上可知正確的結論的是3個，
故選：C．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質、圖形的翻折變換的性質和正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計算，有一定的難度．