Question

一條拋物線y=x²+mx+n經過點（0，3）與（4，3）．
（1）求這條拋物線的解析式，并寫出它的頂點坐標；
（2）現有一半徑為1，圓心P在拋物線上運動的動圓，當⊙P與坐標軸相切時，求圓心P的坐標；
（3）⊙P能與兩坐標軸都相切嗎？如果不能，試通過上下平移拋物線y=x²+mx+n，使⊙P與兩坐標軸都相切．（要說明平移方法）

Answer 1

【答案】分析：（1）因為拋物線過點（0，3）與（4，3），所以可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）設點P的坐標為（x，y），分當⊙P與y軸相切及與y軸相切兩種情況討論，分別求出P點的坐標；
（3）根據（2）中求出的P點坐標可知它們橫縱坐標的絕對值均不相同，故⊙P不能與兩坐標軸都相切．設出平移后的拋物線解析式，再根據圓與直線相切的特點列出方程即可求出未知數的值，從而求出函數的解析式．
解答：解：（1）∵拋物線過（0，3）（4，3）兩點，
∴（1分）
解得（2分）
∴拋物線的解析式是y=x²-4x+3，頂點坐標為（2，-1）．（3分）

（2）設點P的坐標為（x，y），
當⊙P與y軸相切時，有|x|=1，
∴x=±1．（5分）
由x=1，得y=1²-4+3=0；
由x=-1，得y=（-1）²-4（-1）+3=8．
此時，點P的坐標為P₁（1，0），P₂（-1，8）．（6分）
當⊙P與x軸相切時，有|y|=1，
∴y=±1．（7分）
由y=1，得x²-4x+3=1，解得；
由y=-1，得x²-4x+3=-1，解得x=2．
此時，點P的坐標為P₃（2-，1），P₄（2+，1），P₅（2，-1）．（9分）
綜上所述，圓心P的坐標為：P₁（1，0），P₂（-1，8），P₃（2-，1），P₄（2+，1），P₅（2，-1）．
注：不寫最后一步不扣分．

（3）由（2）知，不能．（10分）
設拋物線y=x²-4x+3上下平移后的解析式為y=（x-2）²-1+h，
若⊙P能與兩坐標軸都相切，則|x|=|y|=1，
即x=y=1；或x=y=-1；或x=1，y=-1；或x=-1，y=1．（11分）
取x=y=1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=1．
取x=-1，y=-1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-9．
取x=1，y=-1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-1．
取x=-1，y=1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-7．
∴將y=x²-4x+3向上平移1個單位，或向下平移9個單位，或向下平移1個單位，或向下平移7個單位，就可使⊙P與兩坐標軸都相切．（12分）
點評：本題考查的是二次函數圖象上點的坐標特點，及圓的相關性質，比較復雜，是一道難度適中的題目．