Question

己知：如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙0交AB于點D．
（1）若tan∠ABC=，AC=6，求線段BD的長．
（2）若點E為線段BC的中點，連接DE．求證：DE是⊙0的切線．

Answer 1

（1）解：∵tan∠ABC=，AC=6，
∴BC=8，
由勾股定理得：AB=10，
∵∠ACB=90°，AC為直徑，
∴BC是圓O的切線，
∵BDA是圓的割線，
∴BC²=BD×AB，
∴BD=6.4，
答：線段BD的長是6.4．

（2）證明：連接OD、CD，
∵AC為圓O的直徑，
∴∠CDA=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°，
∵E為BC的中點，
∴DE=BC=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠ECD+∠DCO=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是圓0的切線．
分析：（1）根據銳角三角函數和勾股定理求出BC、AB，根據切割線定理求出BD即可；
（2）連接OD、CD，根據圓周角定理求出∠CDA=∠BDC=90°，根據直角三角形的性質和等腰三角形的性質求出∠ECD=∠EDC，∠OCD=∠ODC即可．
點評：本題主要考查對勾股定理，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．