Question

11．四邊形ABDC在如圖所示的平面直角坐標系中，將四邊形ABDC向右平移4個單位長度后得四邊形A₁B₁D₁C₁，再將四邊形ABDC繞點O旋轉180°后得到四邊形A₂B₂D₂C₂．
（1）在圖中畫出四邊形A₁B₁D₁C₁與四邊形A₂B₂D₂C₂；
（2）四邊形A₁B₁D₁C₁與四邊形A₂B₂D₂C₂關于點P成中心對稱，則點P的坐標為（2，0）；
（3）直接寫出過A₂、B₂、D₂三點的外接圓的直徑為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 （1）利用網格特點和平移、旋轉的性質畫圖；
（2）根據中心對稱的性質，點P為各對應點的連線的交點，然后確定P點位置，寫出P點坐標；
（3）利用勾股定理分別計算出A₂D₂=$\sqrt{10}$，A₂B₂=B₂D₂=$\sqrt{5}$，則根據勾股定理的逆定理可判斷過A₂、B₂、D₂三點的三角形為直角三角形，∠A₂B₂D₂=90°，然后根據圓周角定理可得到過A₂、B₂、D₂三點的外接圓的直徑為$\sqrt{10}$．

解答 解：（1）如圖，四邊形A₁B₁D₁C₁與四邊形A₂B₂D₂C₂為所作；

（2）點P的坐標為（2，0）；
（3）A₂D₂=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，A₂B₂=B₂D₂=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
因為A₂D₂²=A₂B₂²+B₂D₂²，
所以過A₂、B₂、D₂三點的三角形為直角三角形，∠A₂B₂D₂=90°，
所以A₂D₂為過A₂、B₂、D₂三點的外接圓的直徑，即過A₂、B₂、D₂三點的外接圓的直徑為$\sqrt{10}$．
故答案為（2，0），$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了作圖-旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．利用勾股定理的逆定理和圓周角定理是解決（3）問的關鍵．