Question

已知，如圖甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C>∠B），F為AE上一點，且FD⊥BC于D。

（1）試說明：∠EFD=（∠C－∠B）；
（2）當F在AE的延長線上時，如圖乙，其余條件不變，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由。

Answer 1

（1）通過角的負余證明。（2）成立

試題分析：（1）證明：∵FD⊥EC∴∠EFD=90°－∠FEC
∴∠FEC=∠B+∠BAE
又∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠BAC=（180°－∠B－∠C）=90°－（∠B+∠C）
則∠EFD=90°   
（2）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC．
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）；
∴∠BAE=[180°-（∠B+∠C）]；
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+[180°-（∠B+∠C）]=90°+（∠B-∠C）．
又∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°；
∴∠EFD=90°-[90°+（∠B-∠C）=（∠C-∠B）]．
點評：此題主要考查了角平分線的性質、三角形內角和定理和直角三角形的性質，命題時經常將多個知識點聯系在一起進行考查，這樣更能訓練學生的解題能力．