Question

6．如圖，直線a經過點A（0，1）且垂直于y軸，直線b經過點B（2，0）且垂直于x軸，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限內的圖象與直線a，b分別交于點E、D．
（1）用k表示：點E的坐標是（k，1），點D的坐標是（2，$\frac{k}{2}$）．
（2）用k表示：OE²，OD²和DE²．
（3）按下列條件求k的值：
        ①以O，D，E為頂點不能構成三角形；
        ②以O，D，E為頂點能構成直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根據點D，E的特點確定出坐標；
（2）根據兩點間的距離公式直接得出結論；
（3）①判斷出只有雙曲線過點C時，點O，D，E不能構成三角形，②分兩種情況，利用勾股定理的逆定理即可得出結論．

解答 解：（1）∵直線a經過點A（0，1）且垂直于y軸，
∴直線a的解析式為y=1，
∵點E既在直線a上，又在反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴E（k，1），
∵直線b經過點B（2，0）且垂直于x軸，
∴直線b的解析式為x=2，
∵點D既在直線b上，又在反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴D（2，$\frac{k}{2}$），
故答案為：（k，1），（2，$\frac{k}{2}$），
（2）由（1）知，E（k，1），D（2，$\frac{k}{2}$），
∴OD²=2²+（$\frac{k}{2}$）²=$\frac{1}{4}$k²+4，OE²=k²+1²=k²+1，DE²=（k-2）²+（1-$\frac{k}{2}$）²=$\frac{5}{4}$k²-5k+5
（3）①∵以O，D，E為頂點不能構成三角形；
∴點D，E重合．
∴反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖形過點C（即：點C，D，E重合），
∵C既在直線a上，也在直線b上，
∴C（2，1），
∴k=2
②由（2）知，OD²=2²+（$\frac{k}{2}$）²=$\frac{1}{4}$k²+4，OE²=k²+1²=k²+1，DE²=（k-2）²+（1-$\frac{k}{2}$）²=$\frac{5}{4}$k²-5k+5，
∵點D，E是第一象限的點，
∴∠DOE≠90°，
∴以O，D，E為頂點能構成直角三角形的只有兩種情況，
Ⅰ、當∠OED=90°時，
∴OE²+DE²=OD²，
∴k²+1+$\frac{5}{4}$k²-5k+5=$\frac{1}{4}$k²+4．
∴2k²-5k+2=0，
∴k=2（舍）或k=$\frac{1}{2}$；
Ⅱ、當∠ODE=90°時，
∴OD²+DE²=OE²，
∴$\frac{1}{4}$k²+4+$\frac{5}{4}$k²-5k+5=k²+1，
∴$\frac{1}{2}$k²-5k+8=0，
∴k²-10k+16=0，
∴k=2（舍）或k=8；
即：滿足條件的k的值為$\frac{1}{2}$或8．

點評 此題反比例函數綜合題，主要考查了點的坐標特征，平面坐標系中兩點間的距離公式，直角三角形的判定，勾股定理逆定理，和構成三角形的條件，解本題的關鍵是用平面坐標系中兩點間的距離公式，是一道比較簡單的中考題目．