Question

如圖，菱形OABC放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點A在x軸的正半軸上，點B在第一象限，其坐標(biāo)為（8，4）．拋物線y=ax²+bx+c過點O、A、C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將菱形向左平移，設(shè)拋物線與線段AB的交點為D，連接CD．
①當(dāng)點C又在拋物線上時求點D的坐標(biāo)；
②當(dāng)△BCD是直角三角形時，求菱形的平移的距離．

Answer 1

分析：（1）過B作BE⊥OA于E，則可知OE=8，設(shè)菱形的邊長是a，則AE=8-a，在直角△ABE中，根據(jù)勾股定理，就可以得到關(guān)于邊長的方程，求出邊長．則點O、A、C的坐標(biāo)就可以求出．根據(jù)待定系數(shù)法就可以解得拋物線的解析式；
（2）①當(dāng)點C又在拋物線上時，C點的坐標(biāo)與原來的點的縱坐標(biāo)相同，把y=4代入拋物線的解析式，就可以求出C點移動前后的坐標(biāo)，A，B兩點移動情況相同，因而A，B兩點的移動后坐標(biāo)可以求出，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)解析式，把這個解析式與拋物線的解析式組成方程組就可以求出D的坐標(biāo)．
②當(dāng)△BCD是直角三角形時點D到BC的距離可以求出，得到點D的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可以得到方程，解方程就可以求出D的坐標(biāo)，得到菱形的平移的距離．

解答：解：（1）過B作BE⊥OA于E，過C作CF⊥OA于F

由B（8，4），菱形OABC
可得AB+AE=OA+AE=8，BE=4
又因為AE²+BE²=AB²
解得AO=AB=5（2分）
∴A（5，0）
∵OC=5，CF=BE=4，
由勾股定理得OF=3．
∴C（3，4）．
所以過O、A、C三點的拋物線解析式是y=-

2

3

x2+

10

3

x（2分）；

（2）①當(dāng)y=4時，-

2

3

x2+

10

3

x=4
解得x₁=3（舍去），x₂=2（1分）．
所以菱形向左平移了1個單位長度直線AB也向左平移了1個單位長度
原直線AB為：y=

4

3

x-

20

3

則平移后的直線為y=

4

3

(x+1)-

20

3

=

4

3

x-

16

3

（1分）
此時點D的坐標(biāo)為方程組

y=- 2 3 x2+ 10 3 x y= 4 3 x- 16 3

的解（1分）
可得點D坐標(biāo)為（

3+ 41

2

，

2 41 -10

3

）（1分）．
（點（

3- 41

2

，

-2 41 -10

3

）不合題意舍去）
②作CD⊥AB于D，作DH⊥BC于H，
則CD=CF=4，在直角△BCD中，BD=

BC2-CD2

=3，
則DH=

CD•CB

BC

=

12

5

，
當(dāng)△BCD是直角三角形時，則點D到BC的距離是

12

5

，則點D的縱坐標(biāo)為4-

12

5

=

8

5

當(dāng)y=

8

5

時-

2

3

x2+

10

3

x=

8

5

解得x1=

25+ 385

10

x2=

25- 385

10

原直線AB：y=

4

3

x-

20

3

上有一點（

31

5

，

8

5

）
所以菱形移動的距離為

37± 385

10

每對一個得（2分）．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．注意數(shù)與形的結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．