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如圖,菱形OABC放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)B在第一象限,其坐標(biāo)為(8,4).拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)O、A、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將菱形向左平移,設(shè)拋物線與線段AB的交點(diǎn)為D,連接CD.
①當(dāng)點(diǎn)C又在拋物線上時(shí)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
②當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí),求菱形的平移的距離.

【答案】分析:(1)過(guò)B作BE⊥OA于E,則可知OE=8,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)是a,則AE=8-a,在直角△ABE中,根據(jù)勾股定理,就可以得到關(guān)于邊長(zhǎng)的方程,求出邊長(zhǎng).則點(diǎn)O、A、C的坐標(biāo)就可以求出.根據(jù)待定系數(shù)法就可以解得拋物線的解析式;
(2)①當(dāng)點(diǎn)C又在拋物線上時(shí),C點(diǎn)的坐標(biāo)與原來(lái)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,把y=4代入拋物線的解析式,就可以求出C點(diǎn)移動(dòng)前后的坐標(biāo),A,B兩點(diǎn)移動(dòng)情況相同,因而A,B兩點(diǎn)的移動(dòng)后坐標(biāo)可以求出,根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)解析式,把這個(gè)解析式與拋物線的解析式組成方程組就可以求出D的坐標(biāo).
②當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)點(diǎn)D到BC的距離可以求出,得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo),代入拋物線的解析式就可以得到方程,解方程就可以求出D的坐標(biāo),得到菱形的平移的距離.
解答:解:(1)過(guò)B作BE⊥OA于E,過(guò)C作CF⊥OA于F

由B(8,4),菱形OABC
可得AB+AE=OA+AE=8,BE=4
又因?yàn)锳E2+BE2=AB2
解得AO=AB=5(2分)
∴A(5,0)
∵OC=5,CF=BE=4,
由勾股定理得OF=3.
∴C(3,4).
所以過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線解析式是(2分);

(2)①當(dāng)y=4時(shí),
解得x1=3(舍去),x2=2(1分).
所以菱形向左平移了1個(gè)單位長(zhǎng)度直線AB也向左平移了1個(gè)單位長(zhǎng)度
原直線AB為:
則平移后的直線為(1分)
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為方程組的解(1分)
可得點(diǎn)D坐標(biāo)為()(1分).
(點(diǎn)()不合題意舍去)
作CD⊥AB于D,作DH⊥BC于H,
則CD=CF=4,在直角△BCD中,BD==3,
則DH==
當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí),則點(diǎn)D到BC的距離是,則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)
解得
原直線AB:上有一點(diǎn)(
所以菱形移動(dòng)的距離為每對(duì)一個(gè)得(2分).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.注意數(shù)與形的結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求拋物線的解析式;
(2)將菱形向左平移,設(shè)拋物線與線段AB的交點(diǎn)為D,連接CD.
①當(dāng)點(diǎn)C又在拋物線上時(shí)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
②當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí),求菱形的平移的距離.

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①當(dāng)點(diǎn)C又在拋物線上時(shí)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
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