Question

如圖，菱形OABC放在平面直角坐標系內，點A在x軸的正半軸上，點B在第一象限，其坐標為（8，4）．拋物線y=ax²+bx+c過點O、A、C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將菱形向左平移，設拋物線與線段AB的交點為D，連接CD．
①當點C又在拋物線上時求點D的坐標；
②當△BCD是直角三角形時，求菱形的平移的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）過B作BE⊥OA于E，則可知OE=8，設菱形的邊長是a，則AE=8-a，在直角△ABE中，根據勾股定理，就可以得到關于邊長的方程，求出邊長．則點O、A、C的坐標就可以求出．根據待定系數法就可以解得拋物線的解析式；
（2）①當點C又在拋物線上時，C點的坐標與原來的點的縱坐標相同，把y=4代入拋物線的解析式，就可以求出C點移動前后的坐標，A，B兩點移動情況相同，因而A，B兩點的移動后坐標可以求出，根據待定系數法就可以求出函數解析式，把這個解析式與拋物線的解析式組成方程組就可以求出D的坐標．
②當△BCD是直角三角形時點D到BC的距離可以求出，得到點D的縱坐標，代入拋物線的解析式就可以得到方程，解方程就可以求出D的坐標，得到菱形的平移的距離．
解答：解：（1）過B作BE⊥OA于E，過C作CF⊥OA于F

由B（8，4），菱形OABC
可得AB+AE=OA+AE=8，BE=4
又因為AE²+BE²=AB²
解得AO=AB=5（2分）
∴A（5，0）
∵OC=5，CF=BE=4，
由勾股定理得OF=3．
∴C（3，4）．
所以過O、A、C三點的拋物線解析式是（2分）；

（2）①當y=4時，
解得x₁=3（舍去），x₂=2（1分）．
所以菱形向左平移了1個單位長度直線AB也向左平移了1個單位長度
原直線AB為：
則平移后的直線為（1分）
此時點D的坐標為方程組的解（1分）
可得點D坐標為（，）（1分）．
（點（，）不合題意舍去）
②作CD⊥AB于D，作DH⊥BC于H，
則CD=CF=4，在直角△BCD中，BD==3，
則DH==，
當△BCD是直角三角形時，則點D到BC的距離是，則點D的縱坐標為
當時
解得
原直線AB：上有一點（，）
所以菱形移動的距離為每對一個得（2分）．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式．注意數與形的結合是解決本題的關鍵．