Question

【題目】已知：如圖，在中，分別是、的中點，分別是對角線上的四等分點，順次連接.

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）當滿足____ 條件時，四邊形是菱形；

（3）若，

①探究四邊形的形狀，并說明理由；

②當時，直接寫出四邊形的面積.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 當滿足條件時，四邊形是菱形，理由見解析；（3）①四邊形是矩形，理由見解析；②

【解析】

（1）連接AC，由平行四邊形的性質和已知條件得出E、F分別為OB、OD的中點，證出GF為△AOD的中位線，由三角形中位線定理得出GF∥OA，OA，同理：EH∥OC，，得出EH=GF，EH∥GF，即可得出結論；

（2）連接GH，證出四邊形ABHG是平行四邊形，再證明GH⊥EF，即可得出四邊形GEHF是菱形；

（3）①由（2）得：四邊形GEHF是平行四邊形，得出GH=AB，證出GH=EF，即可得出四邊形GEHF是矩形；

②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，則AM∥GN，證出GN是△ADM的中位線，得出，證出∠BAM=30°，由直角三角形的性質得出，，得出，求出△EFG的面積=，即可得出結果．

（1）證明：連接，如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∴的中點在上，

∵分別是對角線上的四等分點，

∴分別為、的中點，

∵是的中點，

∴為的中位線，

∴GF∥OA，OA，

同理：EH∥OC，

∴EH=GF，EH∥GF，

∴四邊形是平行四邊形；

（2）解：當滿足條件時，四邊形是菱形；理由如下：

連接，如圖所示：

則AG=BH，AG∥BH，

∴四邊形是平行四邊形，

∴AB∥GH，

∵，

∴，

∴，

∴四邊形是菱形；

故答案為：；

（3）解：①四邊形是矩形；理由如下：

由（2）得：四邊形是平行四邊形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴四邊形是矩形；

②作于，于，如圖所示：

則AM∥GN，

∵是的中點，

∴是的中位線，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴的面積，

∴四邊形的面積的面積.