Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠DAB＝90°，點E在BC的延長線上，且∠CED＝∠CAB．

（1）求證：DE是⊙O的切線．

（2）若AC∥DE，當AB＝8，DC＝4時，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接BD，因為∠DAB＝90°可知BD為直徑，所以∠BCD=90°，∠DEC+∠CDE=90°，利用等量代換即可求出∠BDC+∠CDE＝90°，即可得出答案；

（2）根據平行線的性質可知∠BDE=∠BFC＝90°，進而得出CB＝AB＝8，AF＝CF＝AC，利用勾股定理求出BD的值，根據△CFD∽△BCD，得出，即可得出答案.

解：（1）如圖，連接BD，∵∠BAD＝90°，

∴點O必在BD上，即：BD是直徑，

∴∠BCD＝90°，

∴∠DEC+∠CDE＝90°，

∵∠DEC＝∠BAC，

∴∠BAC+∠CDE＝90°，

∵∠BAC＝∠BDC，

∴∠BDC+∠CDE＝90°，

∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，

∵點D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線；

（2）∵DE∥AC，∠BDE＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∴CB＝AB＝8，AF＝CF＝AC，

在Rt△BCD中，BD＝

易得△CFD∽△BCD，

∴，

∴，

∴CF＝，

∴AC＝2CF＝．