Question

【題目】如圖，在矩形BCOG中，OC＝3，點A為邊OG上一點，OA＝，AB，∠CBA＝30°．動點D以每秒1個單位的速度從點C出發沿CO向終點O運動，同時動點E以每秒2個單位的速度從點A出發沿AB向終點B運動，過點D作DF∥AB，交BC于點F，連接AD、DE、EF，設運動時間為1秒．

（1）求DF的長（用含t的代數式表示）

（2）求證：四邊形ADFE為平行四邊形；

（3）探索當t為何值時，△BEF與以D，E，F為頂點的三角形相似？

Answer 1

【答案】(1)DF＝2t;(2)見解析；(3) t＝或t＝

【解析】

（1）在直角三角形中，30°對應的直角邊為斜邊的一半；

（2）對邊相等且平行的四邊形ADFE為平行四邊形；

（3）分2種情況討論。

（1）∵DF∥AB，

∴∠CFD＝∠CBA＝30°，

∵△CDF是直角三角形，∠CFD＝30°

∴DF＝2CD＝2t；

（2）∵動點E以每秒2個單位的速度從點A出發沿AB向點B運動，

∴AE＝2t，

∴DF＝AE＝2t，

∵DF∥AB，

∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（3）在直角三角形AGB中，∠AGB＝90°，

∠GAB＝∠CBA＝30°，BG＝OC＝3

∴AB＝2BG＝6，

∵DF∥AB，

∴∠BEF＝∠DFE．

分兩種情況：

①當∠BFE＝∠DEF時，則△BEF∽△DFE，此時DE∥BC，即四邊形DEBF是平行四邊形，

∴DF＝BE，而DF＝2t，BE＝6﹣2t，

∴2t＝6﹣2t，

解得t＝；

②當∠BFE＝∠FDE時，則△BEF∽△EFD，

∴，

即EF2＝DF×BE，

∵四邊形ADEF是平行四邊形，即EF＝AD，

又AD2＝OD2+OA2，

∴（3﹣t）2+（）2＝2t×（6﹣2t），

解得t＝

綜上所述，t＝或t＝