Question

如圖，已知直角三角形ABC，CD是斜邊AB上的高，那么下列各關系式：①CD²=AD•BD；②AC•BC=CD•AB；③AC²=AD•AB；④CD≤

1

2

AB，其中正確的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：首先由直角三角形ABC，CD是斜邊AB上的高，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得△ACD∽△ABC，△BCD∽△BAC與△ACD∽△CBD，根據相似三角形的對應邊成比例，即可證得①②③正確，又由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半與直角三角形的三邊關系，即可求得④正確．

解答：解：∵直角三角形ABC，CD是斜邊AB上的高，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△ABC，
∴

AC

AB

=

AD

AC

，
∴AC²=AD•AB，故③正確；
同理：△BCD∽△BAC，
∴

AC

CD

=

AB

BC

，∠DCB=∠A，
∴AC•BC=CD•AB，故②正確；
∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴

AD

CD

=

CD

BD

，
∴CD²=AD•BD，故①正確；
取AB的中點E，連接CE，
則CE=

1

2

AB，
∵CE是Rt△CDE的斜邊，
∴CD＜CE，
當AC=BC時，CD=CE，
∴CD≤CE≤

1

2

AB，故④正確．
故選D．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．