Question

【題目】如圖①，等腰Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB的中點，Rt△DEF的兩條直角邊DE、DF分別與AC、BC相交于點M、N．

（1）思考推證：CM+CN＝BC；

（2）探究證明：如圖②，若EF經過點C，AE⊥AB，判斷線段MA、ME、MC、DN四條線段之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）拓展應用：如圖③，在②的條件下，若AB＝4，AE＝1，Q為線段DB上一點，DQ＝，QN的延長線交EF于點P，求線段PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），證明詳見解析；（3）.

【解析】

（1）如圖1，連接CD．證明△BDN≌△CDM，即可解決問題；

（2）結論： ．利用相似三角形的性質即可解答．

（3）如圖3，連接CD，作EH⊥CD于H，證明△PNC≌△EAM，求出PN、QN的值即可解決問題．

（1）證明：連接CD，

∵∠ACB=90,CA=CB,AD=DB,∴CD=AD=DB=AB,

∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45,CD⊥AB,

∴∠CDN+∠BDN=90,

∵∠EDF=90,∴∠CDN+CDM=90,∴∠BDN=∠CDM,

∴△BDN≌△CDM, ∴BN=CM,

∴ BC=BN+CN=CM+CN;

(2)∵AE⊥AB,CD⊥AB,∴AE∥CD

∴△AEM∽△CDM,∴,

∵△BDN≌△CDM,∴DN=DM,

∴,即；

（3）∵∠EDF=90,∴∠NDQ+∠ADE=90

∵EA⊥AD,∴∠AED+∠ADE=90 ,∴∠AED=∠NDQ

而AE=1,AD=CD=DB=AB=2,∴ED=

∵△AEM∽△CDM,∴,∴DM=DN=ED=,

而DQ=，∴,

∴△AED∽△QDN,

過點E作EH⊥CD于點H,∴DH=AE=1,EH=AD=2,∴CH=2-1=1,

∴EC=,∴EC=ED,∴∠ECD=∠EDC=∠AEM,

∵PQ⊥AB,∴∠B=∠BNQ=∠PNC=45,

而∠PCN+∠NCD+∠ECD=∠EMA+∠AEM+∠EAM=180,

∠PCN=∠AME,而∠EAM=∠PNC=45,CN=AM,

∴△PNC≌△EAM,∴PN=AE=1,

∴.