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現(xiàn)有質(zhì)量分別為9克和13克的砝碼若干只,在天平上要稱出質(zhì)量為3克的物體,問至少要用多少只這樣的砝碼才能稱出?并證明你的結(jié)論.
【答案】分析:首先假設(shè)出先考慮9克砝碼的個數(shù),設(shè)為|x|只,設(shè)13克砝碼是|y|只,得出有即k的值,再根據(jù)實際情況分三種情況進行討論,得出最少用的砝碼個數(shù).
解答:解:由題意知,相同質(zhì)量的砝碼不會同時出現(xiàn)在天平的兩個秤盤之中,假定當天平平衡時,用9克的砝|x|只,當該砝碼出現(xiàn)在被稱物體所在的秤盤中時,x取負整數(shù),同理,假定13克的砝碼用了|y|只,所以當天平平衡稱出了3克的物體時,應(yīng)有:
9x+13y=3,
問題變?yōu)榍髚x|+|y|的最小值,
先可任取方程的一個整數(shù)解例如,因y=,當x=9時,得y=-6,
利用該解得
兩式相減,得9(x-9)+13(y+6)=0
9(x-9)=-13(y+6),
因9和13互質(zhì),x-9必能被13整除,故設(shè)x-9=13k,這里k是整數(shù),這時有9×13k=-13(y+6),-(y+6)=9k,
總之,有,k=0,±1,±2,
(1)當k=0時,x=9,y=-6,|x|+|y|=15,
(2)當k≥1時,|x|≥22,|y|>0,從而|x|+|y|>22,
(3)當k≤-1時,若k=-1,則x=-4,y=3,|x|+|y|=7,
若k<-1,則|y|≥12,|x|>0,從而|x|+|y|>12,
由上可知,至少要用7只這樣的砝碼,其中9克的4只,13克的3只.
點評:此題主要考查了應(yīng)用類問題,解題的關(guān)鍵是讀懂題意,列出等量關(guān)系,再分三種情況討論,不要漏解.
練習(xí)冊系列答案
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