Question

現有質量分別為9克和13克的砝碼若干只，在天平上要稱出質量為3克的物體，問至少要用多少只這樣的砝碼才能稱出？并證明你的結論．

Answer 1

分析：首先假設出先考慮9克砝碼的個數，設為|x|只，設13克砝碼是|y|只，得出有

x=9+13k y=-6-9k

即k的值，再根據實際情況分三種情況進行討論，得出最少用的砝碼個數．

解答：解：由題意知，相同質量的砝碼不會同時出現在天平的兩個秤盤之中，假定當天平平衡時，用9克的砝|x|只，當該砝碼出現在被稱物體所在的秤盤中時，x取負整數，同理，假定13克的砝碼用了|y|只，所以當天平平衡稱出了3克的物體時，應有：
9x+13y=3，
問題變為求|x|+|y|的最小值，
先可任取方程的一個整數解例如，因y=

3-9x

13

，當x=9時，得y=-6，
利用該解得

9×9-13×6=3 9x+13y=3

，
兩式相減，得9（x-9）+13（y+6）=0
9（x-9）=-13（y+6），
因9和13互質，x-9必能被13整除，故設x-9=13k，這里k是整數，這時有9×13k=-13（y+6），-（y+6）=9k，
總之，有

x=9+13k y=-6-9k

，k=0，±1，±2，
（1）當k=0時，x=9，y=-6，|x|+|y|=15，
（2）當k≥1時，|x|≥22，|y|＞0，從而|x|+|y|＞22，
（3）當k≤-1時，若k=-1，則x=-4，y=3，|x|+|y|=7，
若k＜-1，則|y|≥12，|x|＞0，從而|x|+|y|＞12，
由上可知，至少要用7只這樣的砝碼，其中9克的4只，13克的3只．

點評：此題主要考查了應用類問題，解題的關鍵是讀懂題意，列出等量關系，再分三種情況討論，不要漏解．