Question

（2012•東營）在平面直角坐標系xOy中，點A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分別在直線y=kx+b和x軸上．△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

），那么點A_n的縱坐標是

（

3

2

）^n-1

．

Answer 1

分析：利用待定系數法求一次函數解析式求出直線的解析式，再求出直線與x軸、y軸的交點坐標，求出直線與x軸的夾角的正切值，分別過等腰直角三角形的直角頂點向x軸作垂線，然后根據等腰直角三角形斜邊上的高線與中線重合并且等于斜邊的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜邊上的高線，即可得到各點的縱坐標的規律．

解答：解：∵A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

）在直線y=kx+b上，
∴

k+b=1 7 2 k+b= 3 2

，
解得

k= 1 5 b= 4 5

，
∴直線解析式為y=

1

5

x+

4

5

，
如圖，設直線與x軸、y軸的交點坐標分別為N、M，
當x=0時，y=

4

5

，
當y=0時，

1

5

x+

4

5

=0，解得x=-4，
∴點M、N的坐標分別為M（0，

4

5

），N（-4，0），
∴tan∠MNO=

MO

NO

=

4 5

4

=

1

5

，
作A₁C₁⊥x軸與點C₁，A₂C₂⊥x軸與點C₂，A₃C₃⊥x軸與點C₃，
∵A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

），
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2×

3

2

=2+3=5，
tan∠MNO=

A3C3

NC3

=

A3C3

4+5+B2C3

=

1

5

，
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，
∴A₃C₃=B₂C₃，
∴A₃C₃=

9

4

=（

3

2

）²，
同理可求，第四個等腰直角三角形A₄C₄=

27

8

=（

3

2

）³，
依此類推，點A_n的縱坐標是（

3

2

）^n-1．
故答案為：（

3

2

）^n-1．

點評：本題是對一次函數的綜合考查，主要利用了待定系數法求函數解析式，等腰直角三角形斜邊上的高線就是斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及正切的定義，規律性較強，注意指數與點的腳碼相差1．