Question

（2012•東營）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE．求證：CE=CF；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE=45°，請你利用（1）的結論證明：GE=BE+GD．
（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：
如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）由四邊形是ABCD正方形，易證得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF；
（2）首先延長AD至F，使DF=BE，連接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易證得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可證得△ECG≌△FCG，繼而可得GE=BE+GD；
（3）首先過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，易證得四邊形ABCG為正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的長，設AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE²=AD²+AE²，可得方程，解方程即可求得AB的長，繼而求得直角梯形ABCD的面積．

解答：（1）證明：∵四邊形是ABCD正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠FDC=90°．
∴∠B=∠FDC，
∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF．  

（2）證明：如圖2，延長AD至F，使DF=BE，連接CF．
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴GE=GF，
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．  

（3）解：如圖3，過C作CG⊥AD，交AD延長線于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
又∵∠CGA=90°，AB=BC，
∴四邊形ABCG為正方形．
∴AG=BC．…（7分）
∵∠DCE=45°，
根據（1）（2）可知，ED=BE+DG．…（8分）
∴10=4+DG，
即DG=6．
設AB=x，則AE=x-4，AD=x-6，
在Rt△AED中，
∵DE²=AD²+AE²，即10²=（x-6）²+（x-4）²．
解這個方程，得：x=12或x=-2（舍去）．…（9分）
∴AB=12．
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AB=

1

2

×（6+12）×12=108．
即梯形ABCD的面積為108．…（10分）

點評：此題考查了正方形的性質與判定、全等三角形的判定與性質、直角梯形的性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵，注意數形結合思想與方程思想的應用．