Question

（2012•開平區二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，過點D作DE⊥BC，垂足為E，并延長DE至F，使EF=DE．連接BF、CF、AC．
（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）若四邊形ABFC是矩形，求證：△BED∽△DEC；
（3）在（2）的條件下，若等腰梯形的腰AB=5cm，下底BC=8cm，點P是BC邊上的一個動點，以點P為圓心，以1cm長為半徑的圓從點B出發，以每秒2cm的速度向點C移動（不與點C重合），當⊙P與AC邊相切時，求⊙P移動的時間．

Answer 1

分析：（1）先根據DE⊥BC，EF=DE可知△CDF是等腰三角形，故CD=CF，∠DCB=∠FCB，再由在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC可知AB=CD=CF，∠ABC=∠DCB，故∠FCB=∠ABC，所以四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）連接BD，由在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC可知梯形ABCD是等腰梯形，故AC=BD，由此可得出△ABC≌△DCB，再由四邊形ABFC是矩形可知∠BAC=90°，故∠BDC=90°，所以∠DBC+∠DCB=90°，再由DE⊥BC可知，∠BED=90°，所以∠BDE=∠DCB，故∠DBC=∠CDE，故可得出結論；
（3）設⊙P與AC邊相切于點G，⊙P移動的時間為t，則PC=BC-BP=8-2t，連接GP，則PG⊥AC，再由四邊形ABFC是矩形可知AB⊥AC，故AB∥PG，所以△CGP∽△CAB，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出t的值．

解答：（1）證明：∵DE⊥BC，EF=DE，
∴△CDF是等腰三角形，
∴CD=CF，∠DCB=∠FCB，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AB=CD=CF，∠ABC=∠DCB，
∴∠FCB=∠ABC，
∴四邊形ABFC是平行四邊形；

（2）證明：連接BD，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
在△ABC與△DCB中，
∵

AB=CD AC=BD BC=BC

，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∵四邊形ABFC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE=∠DCB，∠DBC=∠CDE，
∴△BED∽△DEC；

（3）設⊙P與AC邊相切于點G，⊙P移動的時間為t，則PC=BC-BP=8-2t，連接GP，則PG⊥AC，
∵四邊形ABFC是矩形，
∴AB⊥AC，
∴AB∥PG，
∴△CGP∽△CAB，
∴

PG

AB

=

PC

BC

，

1

5

=

8-2t

8

，
解得t=3.2．
答：⊙P移動的時間為3.2秒．

點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到等腰梯形的性質、相似三角形的判定與性質、切線的性質及全等三角形的判定與性質，涉及面較廣，難度適中．