Question

如圖所示，已知△ABC的面積為2400cm²，底邊BC長為80cm．若點D在BC邊上，E在AC邊上，F(xiàn)在AB邊上，且四邊形BDEF為平行四邊形，設(shè)BD=xcm，S_{平行四邊形BDEF}=ycm²，求：
（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)x為何值時，y有最值，最值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△ABC的面積，可求得BC邊上的高，易證得△CDE∽△CBA，根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可用x表示出E到CD的距離，即平行四邊形BD邊上的高，進而可根據(jù)平行四邊形的面積計算方法得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）根據(jù)BC的長即可得到x的取值范圍．
（3）由（1）得到函數(shù)解析式，結(jié)合（2）的自變量取值范圍，即可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得y的最大值及對應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）設(shè)△DCE的高為hcm，如答圖所示，
△ABC的高為bcm，則y=S_{平行四邊形BDEF}=x•h；
∵S_△ABC=

1

2

BC•b，
∴2400=

1

2

×80b，∴b=60（cm）．
∵ED∥AB，∴△EDC∽△ABC．
∴

h

b

=

DC

BC

，即

h

60

=

80-x

80

，
∴h=

3(80-x)

4

．
∴y=

3(80-x)

4

•x=-

3

4

x²+60x．

（2）自變量x的取值范圍是0＜x＜80．

（3）∵a=-

3

4

＜0，∴y有最大值；
當(dāng)x=40時，y_最大值=1200（cm²）．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，難度適中．