Question

【題目】（提出問題）（1）如圖1，已知AB∥CD，證明：∠1+∠EPF+∠2＝360°；

（類比探究）（2）如圖2，已知AB∥CD，設從E點出發的（n﹣1）條折線形成的n個角分別為∠1，∠2……∠n，探索∠1+∠2+∠3+……+∠n的度數可能在1700°至2000°之間嗎？若有可能請求出n的值，若不可能請說明理由．

（拓展延伸）（3）如圖3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分線E1O與∠CEnEn﹣1的角平分線EnO交于點O，若∠E1OEn＝m°．求∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）的度數．（用含m、n的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）可能在1700°至2000°之間，n的值為11或12；（3）∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）＝180°（n﹣1）﹣2m°．

【解析】

(1)過點P做PG∥AB，根據平行線的判定得出PG∥CD,根據平行線的性質得出結論即可；（2）過折點作AB的平行線，根據平行線的判定得出AB∥GH∥…∥PQ∥CD，根據平行線的性質得出即可；（3）過點O作OP∥AB，根據平行線的性質以及（2）中的結論，即可得出∠2+∠3+∠4+…∠（n-1）的度數.

（1）如圖所示，過P作PG∥AB，則∠1+∠GPE＝180°，

∵AB∥CD，

∴PG∥CD，

∴∠2+∠FPG＝180°，

∴∠1+∠GPE+∠GPF+∠2＝360°，

即∠1+∠EPF+∠2＝360°；

（2）可能在1700°至2000°之間．

如圖過G作GH∥AB，…，過P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥GH∥…∥PQ∥CD，

∴∠1+∠EGH＝180°，…，∠QPF+∠n＝180°，（有（n﹣1）對同旁內角）

∴∠1+∠2+…∠n﹣1+∠n＝180°（n﹣1），

當1700°＜180°（n﹣1）＜2000°時，n＝11，12，

∴n的值為11或12；

（3）如圖所示，過O作OP∥AB，

∵AB∥CD，

∴OP∥CD，

∴∠AE1O＝∠POE1，∠CEnO＝∠POEn，

∴∠AE1O+∠CEnO＝∠POE1+∠POEn＝∠E1OEn＝m°，

又∵∠AE1E2的角平分線E1O與∠CEnEn﹣1的角平分線EnO交于點O，

∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2（∠AE1O+∠CEnO）＝2m°，

由（2）可得，∠AE1E2+∠2+…+∠（n﹣1）+∠CEnEn﹣1＝180°（n﹣1），

∴∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）＝180°（n﹣1）﹣2m°．