Question

【題目】材料1：在設計人體雕塑時，存在一個分隔點，使雕塑的上部（腰以上）與下部（腰以下）之比，等于下部與全部（全身）之比，可以增加視覺美觀，數學上把這個點叫“黃金分割點”． 為了研究這個點，我們在線段AB上取點C（如圖1），點C把AB分成AC和CB兩段，其中BC是較小的一段，現要使即可．為了簡便起見，設AB=1，AC=x，則CB=1-x，代入，即，也即x2+x-1=0，解之得，．所以=，人們把這個數叫黃金分割數，點C叫“黃金分割點”．

材料2：由線段的黃金分割點聯想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設S1＜S2），如果，那么稱直線l為該圖形的“黃金分割線”．

（1）如圖2，點C是線段AB的黃金分割點（AC>CB），取線段AB的中點O，作點C關于點O的對稱點，則；繼續取線段AC的中點，作點關于點的對稱點，試猜想點是否線段A的黃金分割點，若是，請證明，若不是，請說明理由；

（2）如圖3，在平面直角坐標系中， A（-，0），B（1，0），C（4-，2），求△ABC中經過點C的“黃金分割線”解析式．

Answer 1

【答案】（1） ，點是線段A的黃金分割點，理由詳見解析；（2）

【解析】

（1），根據中點及對稱點的性質得到A=BC，再根據線段成比例證得點是否線段A的黃金分割點；

（2）過點C作CH⊥x軸于點H，分兩種情況：①當＞時，②當＜時，分別證明點D是線段AB的黃金分割點，由此求出解析式.

（1）

點是線段A的黃金分割點，理由如下：

∵OC=O，

∴AO - O=BO-OC，

∴A=BC，

∵=，

∴=，

∴點是AC的黃金分割點，

∴ ，

同理可得

∴

∴是線段A的黃金分割點

（2）設直線CD是△ABC的黃金分割線，點D的坐標為（x,0），直線CD的解析式為：，

過點C作CH⊥x軸于點H，

，，，

①當＞時，

∵直線CD是△ABC的黃金分割線，

∴，

∴，

∴點D是線段AB的黃金分割點，

∴=，，

解之得，x=2- ，

∵直線經過D（2-，0），C（4-，2），

∴，

解之得，，

∴；

②當＜時，

∵直線CD是△ABC的黃金分割線，

∴，

∴，

∴點D是線段AB的黃金分割點，

∴=，=，

解之得，，

∵直線經過C（4-，2），D（-1,0），

∴，

解之得， ，

∴.