Question

如圖，矩形AOCD的頂點A的坐標是（0，4）．動點P從點O出發沿線段OC（不包括端點O，C）以每秒2個單位長度的速度勻速向點C運動，同時動點Q從點C出發沿線段CD（不包括端點C，D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點D運動．當其中一點到達終點時，另一點也停止運動．設運動時間為t（秒），當t=2（秒）時，PQ=2√5．解答下列問題：
（1）求點D的坐標；
（2）直接寫出t的取值范圍．
（3）連接AQ并延長交x軸于點E，把AQ沿AD翻折，點Q落在CD延長線上點F處，連接EF．
①t為何值時，PQ∥AF；
②△AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數關系式；若不變化，求出S的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知：當t=2秒時，OP=4，CQ=2，設OC=x，PC=x-4，在Rt△PCQ中，由勾股定理得出方程x-4）²+2²=（2）²，求出即可；
（2）根據D（8，4）即可得出t的取值范圍；
（3）①證△CPQ∽△DAF，得出=，代入求出即可；②結論：△AEF的面積S不變化，證△AQD∽△EQC，代入求出CE=，由翻折變換的性質得出DF=DQ=4-t，求出CF=8-t，根據S=S_{s四邊形AOCF}+S_△CFH-S_△AOE和面積公式代入求出即可．
解答：解：（1）由題意可知：當t=2秒時，OP=4，CQ=2，
設OC=x，
則PC=x-4，
∵在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC²+CQ²=PQ²，
∴（x-4）²+2²=（2）²，
x₁=8，x₂=0（不符合題意舍去），
∵矩形AOCD的頂點A的坐標是（0，4），
∴D（8，4）；

（2）∵D（8，4），
∴t的取值范圍是：0＜t＜4；

（3）①∵PQ∥AF，
∴∠PQC=∠AFD，
∵∠ADF=∠PCQ=90°，
∴△CPQ∽△DAF，
∴=，
由翻折變換的性質可知：DF=DQ=4-t，
∴=，
t₁=6+2，t₂=6-2，
由（2）知o＜t＜4，
∴t₁=6+2＞4舍去，
∴當t=6-2時，PQ∥AF；
②結論：△AEF的面積S不變化，
理由是：∵四邊形AOCD是矩形，
∴AD∥OE，
∴△AQD∽△EQC，
∴=，
∴=，
CE=，
由翻折變換的性質可知：DF=DQ=4-t，
則CF=CD+DF=8-t，
S=S_{s四邊形AOCF}+S_△CFH-S_△AOE
=（OA+CF）×OC+CF×CE-OA×OE
=[4+（8-t）]×8+（8-t）•-×4×（8+）
=32（定值），
∴△AEF的面積S不變化，S=32．
點評：本題考查了矩形的性質，三角形的面積，函數的應用等知識點的應用，主要考查學生運用定理和性質進行推理和計算的能力，用了方程思想和函數觀點．