Question

如圖，矩形AOCD中，D點的坐標為（2

6

，3），OC邊在x軸上，點F是OC邊上的動點，并且∠AFE=90°，點E在CD邊上，設OF=x，CE=y．
（1）求y與x的函數關系式；
（2）當CE的值最大時求點F的坐標；
（3）在（2）的條件下，判定以AE為直徑的圓與OC邊的位置關系．

Answer 1

分析：（1）根據點D的坐標求出OA、OC的長，再根據同角的余角相等求出∠OAF=∠EFC，然后利用兩角對應相等，兩三角形相似求出△AOF和△FCE相似，再根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得解；
（2）根據二次函數的最值問題求出CE最大時的x的值，從而得到點F的坐標；
（3）取AE的中點P，然后判定PE為梯形AOCE的中位線，根據梯形的中位線平行于底邊可得PE⊥OC，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PF=

1

2

AE，然后根據直線與圓的位置關系解答．

解答：解：（1）∵D點的坐標為（2

6

，3），
∴OA=3，OC=2

6

，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFO+∠EFC=90°，
又∵∠AFO+∠OAF=90°，
∴∠OAF=∠EFC，
又∵∠AOF=∠FCE=90°，
∴△AOF∽△FCE，
∴

AO

CF

=

OF

CE

，
即

3

2 6 -x

=

x

y

，
整理得，y=-

1

3

x²+

2 6

3

x；

（2）∵y=-

1

3

x²+

2 6

3

x，
=-

1

3

（x²-2

6

x+6）+2，
=-

1

3

（x-

6

）²+2，
∴當x=

6

，即OF=

6

時，CE有最大值，為2，
此時點F的坐標為（

6

，0）；

（3）取AE的中點P，
∵點F的坐標為（

6

，0），
∴OF=CF=

1

2

OC=

6

，
∴PF為梯形AOCE的中位線，
∴PF⊥OC，
又∵∠AFE=90°，
∴PF=

1

2

AE，
∴以AE為直徑的圓與OC邊相切．

點評：本題考查了圓的綜合題型，主要利用了相似三角形的判定與性質，二次函數的最值問題，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，直線與圓的位置關系，梯形的中位線定理，綜合性較強，但難度不大，（3）作輔助線是解題的關鍵．