Question

（2013•河東區一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形AOCD的頂點A的坐標是（0，4），現有兩動點P、Q，點P從點O出發沿線段OC（不包括端點O，C）以每秒2個單位長度的速度，勻速向點C運動，點Q從點C出發沿線段CD（不包括端點C，D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點D運動．點P、Q同時出發，同時停止，設運動時間為t秒，當t=2秒時PQ=2

5

．
（Ⅰ）求點D的坐標，并直接寫出t的取值范圍；
（Ⅱ）連接AQ并延長交x軸于點E，把AE沿AD翻折交CD延長線于點F，連接EF，則△AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數關系式；若不變化，求出S的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，t為何值時，PQ∥AF？

Answer 1

分析：（1）根據t=2求出OP、CQ，再利用勾股定理列式求出PC的長，再求出OC，然后寫出點D的坐標即可，再根據時間=路程÷速度分別求出點P、Q停止時的時間，然后寫出t的取值范圍即可；
（2）表示出CQ、DQ，再根據矩形的對邊平行可得AD∥x軸，再利用△ADQ和△ECQ相似，利用相似三角形對應邊成比例列式表示出CE，根據翻折的性質可得AF=AQ，再根據等腰三角形三線合一的性質可得QF=2DQ，然后根據S_△AEF=S_△AQF+S_△EFQ列式計算即可得解；
（3）根據翻折的性質AF=AQ，根據等邊對等角可得∠AQF=∠AFQ，再根據兩直線平行，同位角相等可得∠AFQ=∠PQC，從而得到∠AQF=∠PQC，然后利用兩組角對應相等兩三角形相似求出△ADQ和△PCQ相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．

解答：解：（1）t=2時，OP=2×2=4，CQ=2×1=2，
∵矩形AOCD的∠OCD=90°，
∴PC=

PQ2-CQ2

=

(2 5 )2-22

=4，
∴OC=OP+PC=4+4=8，
又∵A（0，4），
∴OA=4，
∴點D的坐標為（8，4），
點P運動到點C的時間為：8÷2=4秒，
點Q運動到點D的時間為：4÷1=4秒，
∵點P、Q同時出發，同時停止，
∴0＜t＜4；

（2）△AEF的面積S不變，為32．
理由如下：∵點Q的速度是每秒1個單位長度，
∴CQ=t，DQ=4-t，
∵AD∥x軸，
∴△ADQ∽△ECQ，
∴

AD

CE

=

DQ

CQ

，
即

8

CE

=

4-t

t

，
解得CE=

8t

4-t

，
∵AF是AE沿AD翻折得到，
∴AF=AQ，
∵AD⊥CD，
∴QF=2DQ=2（4-t），
∴S_△AEF=S_△AQF+S_△EFQ，
=

1

2

QF•AD+

1

2

QF•CE，
=

1

2

QF（AD+CE），
=

1

2

×2（4-t）×（8+

8t

4-t

），
=32-8t+8t，
=32是定值，
∴△AEF的面積S不變，為32；

（3）由翻折的性質AF=AQ，
∴∠AQF=∠AFQ，
∵PQ∥AF，
∴∠AFQ=∠PQC，
∴∠AQF=∠PQC，
又∵∠ADQ=∠PCQ=90°，
∴△ADQ∽△PCQ，
∴

AD

PC

=

DQ

CQ

，
即

8

8-2t

=

4-t

t

，
整理得，t²-12t+16=0，
解得t₁=6+2

5

，t₂=6-2

5

，
∵0＜t＜4，
∴t為6-2

5

時，PQ∥AF．

點評：本題是相似形綜合題型，主要利用了矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，翻折變換的性質，三角形的面積，等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，（3）判斷出兩個三角形相似是解題的關鍵．