Question

如圖,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,過點C作CD⊥AC交AB于點D.

(1)尺規作圖：過A，D，C三點作⊙O（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）；

(2)求證：BC是過A，D，C三點的圓的切線；

(3)若過A，D，C三點的圓的半徑為,則線段BC上是否存在一點P，使得以P，D，B為頂點的三角形與△BCO相似.若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）作出圓心O， 

以點O為圓心，OA長為半徑作圓.

（2）證明：∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.

∴AD是⊙O的直徑……………1分

連結OC，∵∠A=∠B=30°,

∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,

∴∠ACO=∠A =30°,…………1分

∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°. 

∴BC⊥OC,

∴BC是⊙O的切線.

（3）存在.

∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,

∴∠BCD=∠B,  即DB=DC.

又∵在Rt△ACD中，DC=AD, ∴BD= .

解法一：①過點D作DP₁// OC，則△P₁D B∽△COB, ，

       ∵BO=BD+OD=,

∴P₁D=×OC=× =.      

        ②過點D作DP₂⊥AB,則△BDP₂∽△BCO, ∴，

        ∵BC＝

∴.

解法二：①當△B P₁D∽△BCO時，∠DP₁B=∠OCB=90°.

在Rt△B P₁D中，

DP₁=.                       

②當△B D P₂∽△BCO時，∠P₂DB=∠OCB=90°.

在Rt△B P₂D中，

DP₂=.