Question

如圖，y關于x的二次函數y=-（x+m）（x-3m）圖象的頂點為M，圖象交x軸于A、B兩點，交y軸正半軸于D點．以AB為直徑作圓，圓心為C．定點E的坐標為（-3，0），連接ED．（m＞0）
（1）寫出A、B、D三點的坐標；
（2）當m為何值時M點在直線ED上？判定此時直線與圓的位置關系；
（3）當m變化時，用m表示△AED的面積S，并在給出的直角坐標系中畫出S關于m的函數圖象的示意圖．

Answer 1

解：（1）令y=0，則-（x+m）（x-3m）=0，解得x₁=-m，x₂=3m；
令x=0，則y=-（0+m）（0-3m）=m．
故A（-m，0），B（3m，0），D（0，m）．

（2）設直線ED的解析式為y=kx+b，將E（-3，0），D（0，m）代入得：

解得，k=，b=m．
∴直線ED的解析式為y=mx+m．
將y=-（x+m）（x-3m）化為頂點式：y=-（x-m）²+m．
∴頂點M的坐標為（m，m）．代入y=mx+m得：m²=m
∵m＞0，
∴m=1．所以，當m=1時，M點在直線DE上．
連接CD，C為AB中點，C點坐標為C（m，0）．
∵OD=，OC=1，
∴CD=2，D點在圓上
又∵OE=3，DE²=OD²+OE²=12，
EC²=16，CD²=4，
∴CD²+DE²=EC²．
∴∠EDC=90°
∴直線ED與⊙C相切．

（3）當0＜m＜3時，S_△AED=AE．•OD=m（3-m）
S=-m²+m．
當m＞3時，S_△AED=AE•OD=m（m-3）．
即S=m^2_ m．
S關于m的函數圖象的示意圖如右：
分析：（1）根據x軸，y軸上點的坐標特征代入即可求出A、B、D三點的坐標；
（2）待定系數法先求出直線ED的解析式，再根據切線的判定得出直線與圓的位置關系；
（3）分當0＜m＜3時，當m＞3時兩種情況討論求得關于m的函數．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及的知識點有x軸，y軸上點的坐標特征，拋物線解析式的確定，拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．注意分析題意分情況討論結果．