Question

如圖，y關(guān)于x的二次函數(shù)y=-

3

3m

（x+m）（x-3m）圖象的頂點為M，圖象交x軸于A、B兩點，交y軸正半軸于D點．以AB為直徑作圓，圓心為C．定點E的坐標(biāo)為（-3，0），連接ED．（m＞0）
（1）寫出A、B、D三點的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m為何值時M點在直線ED上？判定此時直線與圓的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)m變化時，用m表示△AED的面積S，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出S關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x軸，y軸上點的坐標(biāo)特征代入即可求出A、B、D三點的坐標(biāo)；
（2）待定系數(shù)法先求出直線ED的解析式，再根據(jù)切線的判定得出直線與圓的位置關(guān)系；
（3）分當(dāng)0＜m＜3時，當(dāng)m＞3時兩種情況討論求得關(guān)于m的函數(shù)．

解答：解：（1）令y=0，則-

3

3m

（x+m）（x-3m）=0，解得x₁=-m，x₂=3m；
令x=0，則y=-

3

3m

（0+m）（0-3m）=

3

m．
故A（-m，0），B（3m，0），D（0，

3

m）．

（2）設(shè)直線ED的解析式為y=kx+b，將E（-3，0），D（0，

3

m）代入得：

-3k+b=0 b= 3 m

解得，k=

3

3

m，b=

3

m．
∴直線ED的解析式為y=

3

3

mx+

3

m．
將y=-

3

3m

（x+m）（x-3m）化為頂點式：y=-

3

3m

（x-m）²+

4 3

3

m．
∴頂點M的坐標(biāo)為（m，

4 3

3

m）．代入y=

3

3

mx+

3

m得：m²=m
∵m＞0，
∴m=1．所以，當(dāng)m=1時，M點在直線DE上．
連接CD，C為AB中點，C點坐標(biāo)為C（m，0）．
∵OD=

3

，OC=1，
∴CD=2，D點在圓上
又∵OE=3，DE²=OD²+OE²=12，
EC²=16，CD²=4，
∴CD²+DE²=EC²．
∴∠EDC=90°
∴直線ED與⊙C相切．

（3）當(dāng)0＜m＜3時，S_△AED=

1

2

AE．•OD=

3

2

m（3-m）
S=-

3

2

m²+

3 3

2

m．
當(dāng)m＞3時，S_△AED=

1

2

AE•OD=

3

2

m（m-3）．
即S=

3

2

m^2_

3 3

2

m．
S關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖如右：

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點有x軸，y軸上點的坐標(biāo)特征，拋物線解析式的確定，拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．注意分析題意分情況討論結(jié)果．