Question

如圖，關于x的二次函數y=x²-2mx-m-2的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點（x₁＜0＜x₂），與y軸交于C點
（1）當m為何值時，AC=BC；
（2）當∠BAC=∠BCO時，求這個二次函數的表達式．

Answer 1

分析：（1）先根據AC=BC得出拋物線的對稱軸是y軸，再根據y軸上點的坐標橫坐標為0即可求出m的值；
（2）當∠BAC=∠BCO，Rt△AOC∽Rt△COB，由相似三角形的對應邊成比例可得OC²=OA•OB，由兩點間的距離公式即可得到OC=|-m-2|，OA=|x₁|=-x₁，OB=|x₂|=x₂，再由根與系數關系可得到關于m的一元二次方程，求出m的值代入函數關系式，求出符合條件的x的值即可．

解答：解：（1）要使AC=BC，則該拋物線的對稱軸應是y軸，
則有-

-2m

2×1

=0，即m=0，
∴當m=0時，AC=BC．

（2）當∠BAC=∠BCO，有Rt△AOC∽Rt△COB，則

OC

OB

=

OA

OC

，
即OC²=OA•OB，
由題意，知OC=|-m-2|，OA=|x₁|=-x₁，OB=|x₂|=x₂
由根與系數關系，得x₁x₂=-m-2，
∴OA•OB=-x₁x₂=m+2
則|-m-2|²=m+2，
解，得m=-2或m=-1．
當m=-2時，二次函數為y=x²+4x，此時x₁=-4，x₂=0，不合題意，舍去．
當m=-1時，二次函數為y=x²+2x-1，此時x₁=-1-

2

，x₂=-1+

2

，符合題意．
∴當∠BAC=∠BCO時，這個二次函數的表達式為y=x²+2x-1．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、兩點間的距離公式、根與系數的關系，涉及面較廣，難度較大．