Question

已知：點P是正方形ABCD內的一點，連接PA、PB、PC．
（1）如圖1．若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長．
（2）如圖2，若PA²+PC²=2PB²，試說明點P必在對角線AC上．

Answer 1

（1）如圖1，將△APB繞點B旋轉至△CBP′，則△APB≌△CBP′，
∴P′C=PA=2，∠BP′C=∠BPA=135°，∠3=∠1，BP′=BP=4，
∴△BPP′是等腰直角三角形，PP′=4

2

，∠PP′B=45°，∠PP′C=90°，
∴PC=

PP′2+P′C2

=6；

（2）如圖2，將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，連接PP′．
同（1），可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′²=2PB²；
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴PC²+P′C²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四邊形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∴∠BPC+∠APB=180°，即點P在對角線AC上．