Question

18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，AC在直線l上，將△ABC繞點A順時針轉到位置①，可得到點P₁，此時AP₁=2；將位置①的三角形繞點P₁順時針旋轉到位置②，可得到點P₂，此時AP₂=2+$\sqrt{3}$；將位置②的三角形繞點P₂順時針旋轉到位置③，可得到點P₃，此時AP₃=3+$\sqrt{3}$；…，按此順序繼續旋轉，得到點P₂₀₁₆，則AP₂₀₁₆=（　　）

• A． 2016+671$\sqrt{3}$
• B． 2016+672$\sqrt{3}$
• C． 2017+672$\sqrt{3}$
• D． 2016+673$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用題意得AP₃=3+$\sqrt{3}$，則易得AP₆=2（3+$\sqrt{3}$），AP₉=3（3+$\sqrt{3}$），則三角形旋轉三次一個循環，一個循環3+$\sqrt{3}$，然后由2016=3×672即可得到AP₂₀₁₆的長度．

解答 解：∵AP₁=2，AP₂=2+$\sqrt{3}$，AP₃=3+$\sqrt{3}$，
∴AP₆=2（3+$\sqrt{3}$），
AP₉=3（3+$\sqrt{3}$），
而2016=3×672，
∴AP₂₀₁₆=672（3+$\sqrt{3}$）=2016+672$\sqrt{3}$．
故選B．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了規律型問題的解決方法．