Question

若方程|x²-5x|=a有且只有相異二實根，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：首先要對a進行討論：（1）當a=0，原方程變為：x²-5x=0，方程有相異二實根；（2）當a＞0，原方程變為：x²-5x+a=0①，或x²-5x-a=0②；易得△₂=25+4a＞0，所以要滿足條件必須△₁=25-4a＜0，即a＞

25

4

．最后得到a的取值范圍是a=0或a＞

25

4

．

解答：解：（1）當a=0，原方程變為：x²-5x=0，解的x₁=0，x₂=5，方程有相異二實根．
（2）當a＞0，原方程變為：x²-5x+a=0①，或x²-5x-a=0②；
∴△₁=25-4a，△₂=25+4a，
由于a＞0，所以△₂=25+4a＞0，
要原方程有且只有相異二實根，則必須△₁=25-4a＜0，即a＞

25

4

．
所以若方程|x²-5x|=a有且只有相異二實根，則a的取值范圍是a=0或a＞

25

4

．
故答案為a=0或a＞

25

4

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了絕對值的含義和分類討論思想的運用．