Question

（14分）如圖所示，過點F（0，1）的直線y=kx＋b與拋物線交于M（x₁，
y₁）和N（x₂，y₂）兩點（其中x₁＜0，x₂＜0）．
⑴求b的值．
⑵求x₁•x₂的值
⑶分別過M、N作直線l：y=－1的垂線，垂足分別是M₁、N₁，判斷△M₁FN₁的形狀，并證明你的結論．
⑷對于過點F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切．如果有，請法度出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

解：⑴b=1
⑵顯然和是方程組的兩組解，解方程組消元得，依據“根與系數關系”得=－4
⑶△M₁FN₁是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由題知M₁的橫坐標為x₁，N₁的橫坐標為x₂，設M₁N₁交y軸于F₁，則F₁M₁•F₁N₁=－x₁•x₂=4，而FF1=2，所以F₁M₁•F₁N₁=F₁F²，另有∠M₁F₁F=∠FF₁N₁=90°，易證Rt△M₁FF₁∽Rt△N₁FF₁，得∠M₁FF₁=∠FN₁F₁，故∠M₁FN₁=∠M₁FF₁＋∠F₁FN₁=∠FN₁F₁＋∠F₁FN₁=90°，所以△M₁FN₁是直角三角形．
⑷存在，該直線為y=－1．理由如下：
直線y=－1即為直線M₁N_1．
如圖，設N點橫坐標為m，則N點縱坐標為,計算知NN₁=， NF=，得NN₁=NF
同理MM₁=MF．
那么MN=MM₁＋NN₁，作梯形MM₁N₁N的中位線PQ，由中位線性質知PQ=（MM₁＋NN₁）=MN，即圓心到直線y=－1的距離等于圓的半徑，所以y=－1總與該圓相切．解析:
略