Question

如圖所示，過點F（0，1）的直線y=kx+b與拋物線y=

1

4

x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點（其中x₁＜0，x₂＞0）．
（1）求b的值．
（2）求x₁•x₂的值．
（3）分別過M，N作直線l：y=-1的垂線，垂足分別是 M₁和N₁．判斷△M₁FN₁的形狀，并證明你的結論．
（4）對于過點F的任意直線MN，是否存在一條定直線m（m是常數），使m與以MN為直徑的圓相切？如果有，請求出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點F的坐標代入直線可以確定b的值．
（2）聯立直線與拋物線，代入（1）中求出的b值，利用根與系數的關系可以求出x₁•x₂的值．
（3）確定M₁，N₁的坐標，利用兩點間的距離公式，分別求出M₁F²，N₁F²，M₁N₁²，然后用勾股定理判斷三角形的形狀．
（4）根據題意可知y=-1總與該圓相切．

解答：解：（1）∵直線y=kx+b過點F（0，1），
∴b=1；

（2）∵直線y=kx+b與拋物線y=

1

4

x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點，
∴可以得出：kx+b=

1

4

x²，
整理得：

1

4

x²-kx-1=0，
∵a=

1

4

，c=-1，
∴x₁•x₂=-4，

（3）△M₁FN₁是直角三角形（F點是直角頂點）．
理由如下：∵FM₁²=FF₁²+M₁F₁²=x₁²+4，
FN₁²=FF₁²+F₁N₁²=x₂²+4，
M₁N₁²=（x₂-x₁）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8，
∴FM₁²+FN₁²=M₁N₁²，
∴△M₁FN₁是以F點為直角頂點的直角三角形．

（4）符合條件的定直線m即為直線l：y=-1．
過M作MH⊥NN₁于H，MN²=MH²+NH²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
=（x₁-x₂）²+[（kx₁+1）-（kx₂+1）]²，
=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²，
=（k²+1）（x₁-x₂）²，
=（k²+1）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]
=（k²+1）（16k²+16）
=16（k²+1）²，
∴MN=4（k²+1），
分別取MN和M₁N₁的中點P，P₁，
PP₁=

1

2

（MM₁+NN₁）=

1

2

（y₁+1+y₂+1）=

1

2

（y₁+y₂+2）=

1

2

（y₁+y₂）+1=

1

2

k（x₁+x₂）+2=2k²+2，
∴PP₁=

1

2

MN
即線段MN的中點到直線l的距離等于MN長度的一半．
∴以MN為直徑的圓與l相切．
即對于過點F的任意直線MN，存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切，這條直線m的解析式是y=-1．

點評：本題考查的是二次函數的綜合題，
（1）由點F的坐標求出b的值．
（2）結合直線與拋物線的解析式，利用根與系數的關系求出代數式的值．
（3）用兩點間的距離公式，判斷三角形的形狀．
（4）根據點與圓的位置判斷直線與圓的位置．