Question

17．如圖，直線y=$\frac{1}{5}$x-1與坐標軸交于A、B兩點，點P是曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一點，若△PAB是以∠APB=90°的等腰三角形，則k=4．

Answer 1

分析 根據全等三角形的判定與性質，可得AD=BC，DP=CP，根據AD=BC，可得關于x的方程，根據解方程，可得x，根據待定系數法，可得函數解析式．

解答 解：作PC⊥x軸，PD⊥y軸，
如圖，
∴∠COD=∠ODM=∠OCM=90°，
∴四邊形OCPD是矩形．
在△APD和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠BPC}\\{∠PDA=∠PCB}\\{PA=PB}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△BPC（AAS），
∴AD=BC，DP=CP，
∴四邊形OCPD是正方形，
∴OC=OD，
∵OA=1，OB=5，
設OD=x，
則AD=x+1，BC=5-x，
∵AD=BC，
∴x+1=5-x，
解得：x=2，
即OD=OC=2，
∴點P的坐標為：（2，2），
∴k=xy=4，
故答案為：4．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，利用全等三角形的判定與性質得出AD=BC是解題關鍵，又利用了待定系數法求函數解析式．