Question

如下圖所示，⊙O₁和⊙O₂相切于P點，過P的直線交⊙O₁于A，交⊙O₂于B．求證O₁A∥O₂B．

Answer 1

答案：
解析：

證明：①如圖(1)所示，連接O1O2，則O1O2必過切點P， 　　∵O1A＝O1P，∴∠A＝∠O1PA， 　　又O2B＝O2P，∴∠B＝∠O2PB， 　　又∠O1PA＝∠O2PB，∴∠A＝∠B，∴O1A∥O2B． 　　②如圖(2)所示，連接O1O2并延長， 　　則O1O2的延長線必過點P， 　　∵O1A＝O1P，∴∠A＝∠P， 　　又∵O2B＝O2P，∴∠O2BP＝∠P， 　　∴∠A＝∠O2BP，∴O1A∥O2B． 　　分析：上圖給出了內切、外切兩種情況，因此要分兩種情況進行證明．①如圖(1)所示，連接O1O2，則O1O2必過切點P；②如圖(2)所示，連接O1O2并延長，必過切點P．要證O1A∥O2B，在①中只要證∠A＝∠B即可，在②中，只要證∠A＝∠O2BP即可． 　　小結：由于相切兩圓的連心線經(jīng)過切點，所以涉及兩圓相切的問題時，作連心線(或圓心距)是一種重要的添加輔助線的方法．