Question

如圖，正比例函數y=2x與反比例函數的圖象相交于A、C兩點，過點A作AD垂直x軸，垂足為D，過點C作CB垂直x軸，垂足為B，連接AB和CD．已知點A的橫坐標為2．
（1）求k的值；
（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）P、Q兩點是坐標軸上的動點（P為正半軸上的點，Q為負半軸上的點），當以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是矩形時，求P、Q兩點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A的橫坐標代入正比例函數解析式可得點A的縱坐標，把點A的坐標代入反比例函數解析式即可求得k的值；
（2）易得四邊形ABCD的對角線互相平分，那么是平行四邊形；
（3）若以AC為邊得到的矩形，P，Q兩點不在坐標軸上；以AC為對角線得到的矩形，可以AC為直徑畫一個圓，看圓與坐標軸的交點即可．
解答：解：（1）當x=2時，由y=2x得y=4，
∴k=8（4分）

（2）∵A、O、C在一條直線上，A，C在反比例函數和正比例函數的交點處，
∴點A和點C關于點O中心對稱，
∴AO=OC，BO=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形（或者解方程組y=2x和，求得C點的坐標為（-2，-4）也可）（4分）

（3）∵以AC為邊的四邊形是矩形時，點P、Q分別在x軸和y軸上時，此時不可能；
∴只能以AC為矩形的對角線，此時P、Q分別在x軸的正、負半軸上或者在y軸的正、負半軸上．
而，
∴以O為圓心，為半徑畫圓與坐標軸的交點即為所求的點．或者．（4分）
點評：用到的知識點為：點在函數解析式上，就適合這個函數解析式；正比例函數和反比例函數的交點關于原點對稱；直徑所對的圓周角是90°．