如圖，在一張三角形的紙片ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°，AB=10．將△ABC紙片折疊后使其中的兩個頂點能夠互相重合，請畫出與說明折痕的各種可能的位置，并求出每條折痕的長．

解：折痕可能位置為△ABC的中位線DE、DF及AB邊的垂直平分線DG，如圖，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，AB=10，
∴BC=5，AC=5 $\text{[math]}$ ，
當點A與點C重合，折痕為△ABC的中位線DE，
∴DE= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$ ；
當點B與點C重合，折痕為△ABC的中位線DF，
∴DF= $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ ；
當點A與點B重合，折痕為AB的垂直平分線DG，
∵DG垂直平分AB，
∴AD= $\text{[math]}$ AB=5，∠GDA=90°，
∴AD= $\text{[math]}$ DG，
∴DG= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：先根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到BC=5，AC=5 $\text{[math]}$ ；然后討論：當點A與點C重合，折痕為△ABC的中位線DE；當點B與點C重合，折痕為△ABC的中位線DF；當點A與點B重合，折痕為AB的垂直平分線DG，再分別利用三角形的中位線性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關系即可求出三條折痕的長．
點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等．也考查了畫幾何圖的能力、三角形中位線的性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關系．

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如圖，在一張三角形的紙片ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°，AB=10．將△ABC紙片折疊后使其中的兩個頂點能夠互相重合，請畫出與說明折痕的各種可能的位置，并求出每條折痕的長．

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如圖1，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個三角形（如圖2），將紙片△AC₁D₁沿直線D₂B（AB）方向平移（點A、D₁、D₂、B始終在同一直線上），當點D₁與點B重合時，停止平移．在平移過程中，C₁D₁與BC₂交于點E，AC₁與C₂D₂、BC₂分別交于點F、P．
（1）當△AC₁D₁平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的D₁E與D₂F的數(shù)量關系，并證明你的猜想；
（2）設平移距離D₂D₁為x，△AC₁D₁與△BC₂D₂重疊部分面積為y，請寫出y與x的函數(shù)關系式，并求出函數(shù)y的最值．