Question

如圖，在一張三角形的紙片ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°，AB=10．將△ABC紙片折疊后使其中的兩個(gè)頂點(diǎn)能夠互相重合，請(qǐng)畫(huà)出與說(shuō)明折痕的各種可能的位置，并求出每條折痕的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：先根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=5，AC=5

3

；然后討論：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為△ABC的中位線DE；當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為△ABC的中位線DF；當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為AB的垂直平分線DG，再分別利用三角形的中位線性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可求出三條折痕的長(zhǎng)．

解答：解：折痕可能位置為△ABC的中位線DE、DF及AB邊的垂直平分線DG，如圖，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，AB=10，
∴BC=5，AC=5

3

，
當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為△ABC的中位線DE，
∴DE=

1

2

BC=

5

2

；
當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為△ABC的中位線DF，
∴DF=

1

2

AC=

5 3

2

；
當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為AB的垂直平分線DG，
∵DG垂直平分AB，
∴AD=

1

2

AB=5，∠GDA=90°，
∴AD=

3

DG，
∴DG=

5

3

=

5 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等．也考查了畫(huà)幾何圖的能力、三角形中位線的性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．