Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，PC切⊙O于C，AE⊥PC交PC的延長線于E，AE交⊙O于D，PC與AB的延長線相交于點P，連接AC、BC．

（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若PB：PC=1：2，PB=4，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）如圖所示：連結OC．

∵PC是⊙O的切線，

∴OC⊥EP．

又∵AE⊥PC，

∴AE∥OC．

∴∠EAC=∠ACO．

又∵∠ACO=∠AOC，

∴∠EAC=∠OAC．

∴AC平分∠BAD；

（2）

解：（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°．

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠ABC．

∵∠PCB+∠OCB=90°，

∴∠PCB=∠PAC．

∵∠P=∠P，

∴△PCA∽△PBC，

∴ = ，

∴PA= =16．

∴AB=PA﹣PB=16﹣4=12．

【解析】（1）先AE∥OC，然后依據平行線的性質可得到∠EAC=∠ACO．，接下來由∠ACO=∠AOC，可證明∠EAC=∠OAC；（2）先證明∠PCB=∠PAC，從而可證明△PCA∽△PBC，依據相似三角形的性質可求得PA的長，最后依據AB=PA﹣PB求解即可．