Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分別是BG，AC的中點(diǎn)．

（1）求證：DE=DF，DE⊥DF；

（2）連接EF，若AC=10，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：

（1）由已知條件先證△BDG≌△ADC，再證△BDE≌△ADF即可得到所求結(jié)論；

（2）如圖，由（1）可知∠ADC＝90°，△DEF是等腰直角三角形， 結(jié)合F是AC的中點(diǎn)可得DF=AC=5，這樣用勾股定理即可求得EF的長(zhǎng)度.

試題解析：

(1)∵AD⊥BC于點(diǎn)D，

∴∠BDG＝∠ADC＝90°.

∵BD＝AD，DG＝DC，

∴△BDG≌△ADC，

∴BG＝AC.

∵E，F分別是BG，AC的中點(diǎn)，

∴DE＝BG，DF＝AC.

∴DE＝DF.

又∵BD＝AD，BE＝AF，

∴△BDE≌△ADF.

∴∠BDE＝∠ADF.

∴∠EDF＝∠EDG＋∠ADF＝∠EDG＋∠BDE＝∠BDG＝90°.

∴DE⊥DF.

(2)如圖，連接EF，

∵AC＝10，∠ADC＝90°，

∴DE＝DF＝AC＝5.

又∵∠EDF＝90°，

∴EF＝.